Die Restsumme der Quadrate (RSS) ist ein häufig verwendetes Konzept in der Statistik und Regressionsanalyse, das die Summe der quadrierten Differenzen zwischen beobachteten Werten und vorhergesagten Werten aus einem Regressionsmodell darstellt. Dies impliziert die klare Bedeutung von Residuen: Residuen beziehen sich auf die Unterschiede oder Abweichungen zwischen beobachteten Werten und vorhergesagten Werten aus dem Regressionsmodell. Sie geben den Grad der Diskrepanz zwischen den tatsächlichen Werten und dem Modell an.

In der Regressionsanalyse verwenden wir ein mathematisches Modell, um die Beziehung zwischen unabhängigen Variablen und abhängigen Variablen zu beschreiben. Durch das Regressionsmodell können wir die Werte der abhängigen Variablen basierend auf den Werten der unabhängigen Variablen vorhersagen. Aufgrund verschiedener Gründe, wie z. B. zufällige Fehler und Ungenauigkeiten in den Modellannahmen, kommt es jedoch zu Unterschieden zwischen den vorhergesagten Werten und den tatsächlich beobachteten Werten, d. h.: Residuum = Beobachteter Wert - Vorhergesagter Wert

Residuen können positiv oder negativ sein, wobei positive Residuen angeben, dass die beobachteten Werte höher als die vorhergesagten Werte sind, und negative Residuen angeben, dass die beobachteten Werte niedriger als die vorhergesagten Werte sind. Residuen können verwendet werden, um die Güte der Anpassung des Modells an die Daten und die Genauigkeit von Vorhersagen zu messen.

Die Berechnung und Analyse von Residuen ist entscheidend für die Bewertung und Diagnose von Regressionsmodellen. Durch die Analyse der Verteilung, der statistischen Eigenschaften und der Muster von Residuen können wir die Annahmen des Regressionsmodells testen, die Güte der Anpassung des Modells bewerten und Ausreißer, Einflusspunkte oder Nichtlinearität im Modell identifizieren. Für ein geeignetes Regressionsmodell sollten Residuen Merkmale wie Zufallsverteilung, Mittelwert nahe Null und konstante Varianz aufweisen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Residuen als quantitative Indikatoren zum Messen der Unterschiede zwischen beobachteten Werten und vorhergesagten Werten aus einem Regressionsmodell dienen und erhebliche Auswirkungen auf das Verständnis der Genauigkeit des Modells, die Güte der Anpassung und die Identifizierung abnormaler Situationen haben.

Die Restsumme der Quadrate ist, wie der Name schon sagt, die Berechnung des Quadrats jedes Residuums für jeden beobachteten Wert und deren anschließende Summierung. Die einzelnen Berechnungsschritte lauten wie folgt:
Berechnen Sie das Residuum für jeden beobachteten Wert (subtrahieren Sie den vorhergesagten Wert vom beobachteten Wert).

Quadrieren Sie jeden Restwert.
Summieren Sie alle quadrierten Restwerte, um die Restsumme der Quadrate zu erhalten.
Die Restsumme der Quadrate kann die Güte der Anpassung des Regressionsmodells an die Daten messen. Wenn die Restsumme der Quadrate klein ist, bedeutet dies, dass die Unterschiede zwischen den vorhergesagten Werten und den tatsächlich beobachteten Werten minimal sind, was auf eine gute Anpassung des Modells an die Daten hindeutet. Ist die Restsumme der Quadrate hingegen groß, bedeutet dies, dass die Unterschiede zwischen den vorhergesagten Werten und den tatsächlich beobachteten Werten signifikant sind, was auf eine schlechte Anpassung des Modells an die Daten hinweist.
Bei der Regressionsanalyse suchen wir in der Regel nach der am besten passenden Linie oder Kurve, die die Restsumme der Quadrate minimiert, um das optimale Modell zu finden. Dies kann durch Methoden wie die Methode der kleinsten Quadrate erreicht werden. Das Ziel der Minimierung der Restsumme der Quadrate besteht darin, die Vorhersagen des Modells so nah wie möglich an die tatsächlich beobachteten Werte zu bringen und dadurch die Genauigkeit und Zuverlässigkeit des Modells zu verbessern.